６. 回折リングについて（２）

U(P) = Ｃ・∬_A e^{-ik・(ｐξ＋ｑη)}dξdη = Ｃ・∬_A e^{-２πi/λ・(ｐξ＋ｑη)}dξdη ----（36）

U(P)のPは、実際には方向(余弦)(p,q)を表すことになります。

開口部の形状を表す関数：瞳関数G(ξ,η)を導入し，開口A の内部ではG(ξ,η)＝Ｃ（一定）、外部ではG(ξ,η)＝0 とおくと、（36）式は，

U(p,q) = ∬ G(ξ,η) e^{-２πi/λ・(ｐξ＋ｑη)}dξdη ----（38）

6-1. 矩形開口による回折像

先ずは、横方向（x方向、ξ方向）の辺の長さが２ａ、縦方向（y方向、η方向）の辺の長さが２ｂ、の矩形開口の場合について調べてみます。

このとき、(36)又は（38）式は、ξでの積分とηでの積分に分離でき、

U(p,q) = Ｃ・(∫_-a^a e^-ikｐξdξ)・(∫_-b^b e^-ikｑηdη)

= Ｃ・2(sin(kpa)/(kp))・2(sin(kqb)/(kq))

I(p,q)=|U(p,q)|² = (sin(kpa)/(kpa))²・(sin(kqb)/(kqb))²・Io ……(1)

この式の中の、 (sin(x)/x)² という形の関数は、x=0で最大値（極大値）１をとり、x=±π、±2π、±3π、……では最小値（極小値）０をとる 関数です。これら以外のxの時には小さいながらゼロで無い値をもち、x=4.49のとき極大値0.047、x=7.72のとき0.017、等をとり、これらは回折による広がりを表します。

尚，角度ではなく望遠鏡の焦点面上での座標(x,y)に換算したい場合には、fを焦点距離とすると、x=fp, y=fq で換算できると思います。

(手計算の一例)
矩形開口でa=80mm、b=60mm、波長λ=550nmの場合に，回折像中心からx方向に0.5秒角かつｙ方向に0.5秒角の方向の強度を求めて見ます。 0.5秒角ということは、p=q=0.5/3600/180*π=2.42E-6(rad)。また、k=2π/λ=6.28/550nm=0.0114/nm=11.4E3/mmなので、
kpa=11.4E3/mm*2.42E-6*80mm=2.207、kpb=11.4E3/mm*2.42E-6*60mm=1.655
(sin(2.207)/(2.207))²=0.133、(sin(1.655)/(1.655))²=0.363、より、 この方向の強度は0.133*0.363・Io= 0.048・Io となって、中心強度の4.8％となります。

x方向に0.5秒角かつｙ方向に0.5秒角の方向は、焦点面上の位置に換算すると、例えば焦点距離ｆ=1000mmの望遠鏡の場合， x=fp=1000mm*2.42E-6(rad)=2.42um、y=fq=2.42um の位置に相当します。

(シミュレーション)
参考までに、光学ソフトでの計算結果を以下に示します。

焦点距離f=1000mm、矩形開口でa=80mm、b=60mm、波長λ=550nmを仮定。
擬似カラー表示（明るい部分は赤、暗い部分は青）。LOGスケールの場合、淡い部分が強調されて表示されます。

リニアスケール (一辺43um)	LOGスケール (一辺43um)

6-2. 円形開口による回折像

U(w) = ２πＣ・(∫_o^a Jo(kρw)ρdρ) ……(10)

ベッセル関数の性質を利用して、(10)式の積分を実行すると、振幅分布U(w)は、

U(w) = Ｃ・Ｄ・(２J₁(kaw)/kaw) ……(13)

強度分布は、振幅分布の絶対値の２乗なので、

I(w)=|U(w)|² =(２J₁(kaw)/kaw)²・Io ……(14)

この式の中の、 (２J₁(x)/x)² という形の関数は、x=0で最大値（極大値）１をとり、x=3.83、7.02、10.17、……では最小値（極小値）０をとる 関数です。これら以外のxの時には小さいながらゼロで無い値をもち、x=5.14のとき極大値0.0175、x=8.42のとき0.0042、等をとり、これらが回折リングとなる訳です。

尚，角度ではなく望遠鏡の焦点面上での座標(光軸からの距離：y)に換算したい場合には、fを焦点距離とすると、 y=fw で換算できると思います。

(手計算の一例)
円径開口で半径a=100mm、波長λ=550nmの場合に，回折像中心から0.5秒角の方向の強度を求めて見ます。 0.5秒角ということは、w=0.5/3600/180*π=2.42E-6(rad)。また、k=2π/λ=6.28/550nm=0.0114/nm=11.4E3/mmなので、
kaw=11.4E3/mm*100mm*2.42E-6=2.759。(２J₁(2.759)/2.759)²= 0.094
I(w)=0.094・Ioとなり、回折像中心から0.5秒角離れた方向の強度は中心強度の9.4%となります。

回折像中心から0.5秒角の方向は、焦点面上の位置に換算すると、例えば焦点距離ｆ=1000mmの望遠鏡の場合， y=fw=1000mm*2.42E-6(rad)=2.42umの位置に相当します。

尚、ベッセル関数J₁(x)は、数学関数ライブラリー等がありましたら利用可能と思いますし、 それ以外にも、公式集などを見ると、

J₁(X)＝Σ_k=0 [ (-1)^k・X^1+2k/{ 2^1+2k・k !・(1+k) ! } ]

=X/2 - X³/16 + X⁵/384 - X⁷/18432 + X⁹/1474560 - X¹¹/176947200 + …

(シミュレーション)
参考までに、光学ソフトでの計算結果を以下に示します。

焦点距離f=1000mm、円径開口で半径a=100mm、波長λ=550nmを仮定。
擬似カラー表示（明るい部分は赤、暗い部分は青）。LOGスケールの場合、淡い部分が強調されて表示されます。

リニアスケール (一辺43um)	LOGスケール (一辺43um)

6-2. リング開口による回折像

U(w) = Ｃπａ^２・(２J₁(kaw)/kaw)−Ｃπε^２ａ^２・(２J₁(kεaw)/kεaw) ……(25)

I(w)=|U(w)|² =Io・[(２J₁(kaw)/kaw)−ε^２・(２J₁(kεaw)/kεaw)]²／(1−ε²)² ……(26)

(手計算の一例)
円径開口で半径a=100mm、ε＝0.5（中央遮蔽の直径比が５割）、波長λ=550nmの場合に，回折像中心から0.5秒角の方向の強度を求めて見ます。
0.5秒角ということは、w=0.5/3600/180*π=2.42E-6(rad)。また、k=2π/λ=6.28/550nm=0.0114/nm=11.4E3/mmなので、
kaw=11.4E3/mm*100mm*2.42E-6=2.759、kεaw=2.759*0.5=1.379。
I(w) =Io・[(２J₁(2.759)/2.759)−0.5^２・(２J₁(1.379)/1.379)]²／(1−0.5²)²
=Io・[0.3067-0.25*0.7804]²/0.75² = 0.022・Io
となり、この方向の強度は中心強度Ioの2.2％となります。

（但し、以上は中心強度Ioを基準とした値ですが、例えば円形開口とリング開口では、中心強度Io自体の値が異なるので、 強度の絶対値の比較が必要な場合には注意が必要です。）

回折像中心から0.5秒角の方向は、焦点面上の位置に換算すると、例えば焦点距離ｆ=1000mmの望遠鏡の場合， y=fw=1000mm*2.42E-6(rad)=2.42umの位置に相当します。

(シミュレーション)
参考までに、光学ソフトでの計算結果を以下に示します(ε＝0.5の場合)。

焦点距離f=1000mm、リング開口でa=100mm、ε＝0.5、波長λ=550nmを仮定。
擬似カラー表示（明るい部分は赤、暗い部分は青）。LOGスケールの場合、淡い部分が強調されて表示されます。

リニアスケール (一辺43um)	LOGスケール (一辺43um)